Номер 15, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 15, страница 140.

Условие.

18.15. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

По условию, дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что в её основании лежит равносторонний треугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого треугольника. Обозначим пирамиду как $SABC$ с вершиной $S$. Её высота $SO = H$ опускается в центр $O$ основания $ABC$.

Боковое ребро, например $SA$, по условию равно $b$. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания $ABC$ — это угол между самим ребром и его проекцией $OA$ на плоскость основания. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$, так как $SO$ — высота).

1. Нахождение высоты пирамиды (H)

В прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ высота $H = SO$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Гипотенуза $SA = b$.
Из определения синуса: $\sin(\alpha) = \frac{SO}{SA}$.
$H = SO = SA \cdot \sin(\alpha) = b \sin(\alpha)$.

2. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Для вычисления площади основания необходимо найти длину его стороны. Сначала найдём радиус $R$ окружности, описанной около основания. Этот радиус равен длине отрезка $OA$, который является проекцией бокового ребра на плоскость основания.
В том же прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ отрезок $OA$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$.
Из определения косинуса: $\cos(\alpha) = \frac{OA}{SA}$.
$R = OA = SA \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)$.

Сторона равностороннего треугольника ($a$) связана с радиусом описанной около него окружности ($R$) соотношением $a = R\sqrt{3}$.
Подставим найденное значение $R$:
$a = (b \cos(\alpha)) \sqrt{3} = b\sqrt{3}\cos(\alpha)$.

Теперь найдём площадь основания, используя формулу площади равностороннего треугольника $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:
$S_{осн} = \frac{(b\sqrt{3}\cos(\alpha))^2\sqrt{3}}{4} = \frac{b^2 \cdot 3 \cdot \cos^2(\alpha) \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}b^2\cos^2(\alpha)$.

3. Вычисление объёма пирамиды (V)

Подставим найденные значения высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ в формулу объёма пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{3\sqrt{3}}{4}b^2\cos^2(\alpha) \right) \cdot (b\sin(\alpha))$.

Упростим полученное выражение:
$V = \frac{3\sqrt{3}}{3 \cdot 4} b^3 \cos^2(\alpha) \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{4} b^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} b^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.