Номер 22, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22, страница 141.

Условие.

18.22. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Основанием является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между сторонами:

$S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$

Далее найдём высоту пирамиды $H$. По условию, все двугранные углы при рёбрах основания равны $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей.

Высота пирамиды $H$, радиус вписанной в основание окружности $r$ и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проведённым в точку касания) является линейным углом двугранного угла и равен $\beta$. В этом треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а радиус $r$ — прилежащим катетом. Таким образом, они связаны соотношением:

$\tan(\beta) = \frac{H}{r}$, откуда $H = r \cdot \tan(\beta)$.

Теперь нужно найти радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Высота ромба $h_{ромба}$ связана с его стороной $a$ и углом $\alpha$ как $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

Подставим найденное значение $r$ в выражение для высоты пирамиды:

$H = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)$

Наконец, подставим выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (a^2 \sin(\alpha)) \cdot \left(\frac{a \sin(\alpha) \tan(\beta)}{2}\right)$

После упрощения получаем окончательное выражение для объёма:

$V = \frac{a^3 \sin^2(\alpha) \tan(\beta)}{6}$

Ответ: $V = \frac{a^3 \sin^2(\alpha) \tan(\beta)}{6}$