Номер 28, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 28, страница 141.

Условие.

18.28. Стороны оснований правильной тре-угольной усечённой пирамиды равны $a$ и $b$, $a > b$. Двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

Так как пирамида правильная треугольная, её основаниями являются равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $x$ равна $S = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания (со стороной $a$):

$S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь меньшего основания (со стороной $b$):

$S_2 = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$

Для нахождения высоты $H$ рассмотрим сечение усечённой пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту и апофемы боковых граней (высоты, проведённые к сторонам оснований). Это сечение является прямоугольной трапецией. Основаниями этой трапеции являются апофемы оснований пирамиды (они же радиусы вписанных в основания окружностей), $r_1$ и $r_2$. Одна из боковых сторон трапеции — это высота усечённой пирамиды $H$, а другая — апофема боковой грани.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $x$, равен $r = \frac{x}{2\sqrt{3}} = \frac{x\sqrt{3}}{6}$.

Радиус окружности, вписанной в большее основание:

$r_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Радиус окружности, вписанной в меньшее основание:

$r_2 = \frac{b\sqrt{3}}{6}$

Двугранный угол при ребре большего основания, равный $\alpha$, — это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В построенном нами сечении этот угол равен углу между апофемой боковой грани и апофемой большего основания. В прямоугольной трапеции, образованной высотой $H$, апофемами $r_1$ и $r_2$ и апофемой боковой грани, этот угол является острым углом при большем основании.

Опустив высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее, мы получим прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота усечённой пирамиды $H$ и разность апофем оснований $r_1 - r_2$. Угол, прилежащий к катету $r_1 - r_2$, равен $\alpha$.

Из соотношения в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r_1 - r_2}$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = (r_1 - r_2) \tan(\alpha) = \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{b\sqrt{3}}{6}\right) \tan(\alpha) = \frac{(a-b)\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)$

Теперь подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$ в формулу для объёма.

Сначала найдём выражение $S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}$:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{a^2b^2 \cdot 3}{16}} = \frac{ab\sqrt{3}}{4}$

$S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + ab + b^2)$

Подставляем всё в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + ab + b^2)\right)$

Сгруппируем множители:

$V = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \cdot \tan(\alpha)}{3 \cdot 6 \cdot 4}$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и упростим выражение:

$V = \frac{(a^3 - b^3) \cdot 3 \cdot \tan(\alpha)}{72}$

$V = \frac{(a^3 - b^3) \tan(\alpha)}{24}$

Ответ: $V = \frac{(a^3 - b^3) \tan(\alpha)}{24}$.