Номер 34, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 34, страница 142.

Условие.

18.34. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $a$.

Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Решение

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны $a$. Основанием такой пирамиды является квадрат со стороной $a$, а боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$.

Для нахождения радиуса вписанного шара воспользуемся методом сечений. Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее вершину $S$ и середины $M$ и $N$ противоположных сторон основания $BC$ и $AD$.

Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SMN$.

• Основание треугольника $MN$ равно стороне основания пирамиды: $MN = a$.
• Боковые стороны $SM$ и $SN$ являются апофемами (высотами) боковых граней. Так как боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$, их высота равна $h_a = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $SM = SN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Сечение вписанного шара этой плоскостью есть окружность, вписанная в треугольник $SMN$. Радиус $r$ этой окружности равен радиусу вписанного шара.

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем высоту $H$ пирамиды, которая также является высотой $SO$ треугольника $SMN$ (где $O$ — центр основания, середина $MN$). Из прямоугольного треугольника $SOM$ по теореме Пифагора:

$H = SO = \sqrt{SM^2 - OM^2}$

где $OM = \frac{MN}{2} = \frac{a}{2}$.

$H = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

2. Найдем площадь треугольника $SMN$:

$S_{\triangle SMN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

3. Найдем полупериметр треугольника $SMN$:

$p = \frac{SM + SN + MN}{2} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2} + a}{2} = \frac{a\sqrt{3} + a}{2} = \frac{a(1+\sqrt{3})}{2}$

4. Теперь найдем радиус $r$:

$r = \frac{S_{\triangle SMN}}{p} = \frac{\frac{a^2\sqrt{2}}{4}}{\frac{a(1+\sqrt{3})}{2}} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{a(1+\sqrt{3})} = \frac{a\sqrt{2}}{2(1+\sqrt{3})}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}-1)$:

$r = \frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)} = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2(3-1)} = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2 \cdot 2} = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$

Ответ: $r = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$.