Номер 40, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 40, страница 142.

Условие.

18.40. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Боковая грань пирамиды, содержащая большую сторону основания, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$.

1. Нахождение сторон и площади основания.

В основании лежит прямоугольный треугольник $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $). По условию, один из катетов равен $a$, и прилежащий к нему угол равен $\alpha$. Пусть катет $AC = a$, тогда прилежащий угол $ \angle CAB = \alpha $.
Найдем второй катет $BC$ из соотношения в прямоугольном треугольнике: $ \tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \tan(\alpha) = a \cdot \tan(\alpha) $.
Гипотенуза $AB$ является наибольшей стороной основания. Найдем ее длину: $ \cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{AC}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)} $.
Площадь основания $S_{осн}$ равна половине произведения катетов: $ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \tan(\alpha)) = \frac{1}{2} a^2 \tan(\alpha) $.

2. Определение положения высоты пирамиды.

По условию, боковая грань, содержащая большую сторону основания (гипотенузу $AB$), перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что грань $SAB$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
Высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания, будет лежать в плоскости $SAB$. Обозначим эту высоту $SK$, где $K$ — основание высоты. Таким образом, $SK \perp (ABC)$ и точка $K$ лежит на гипотенузе $AB$.
Две другие грани, $SAC$ и $SBC$, наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Угол наклона грани к плоскости — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Этот угол образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения граней (в данном случае, к сторонам $AC$ и $BC$).
Так как грани $SAC$ и $SBC$ одинаково наклонены к основанию, то основание высоты $K$ равноудалено от сторон $AC$ и $BC$. В плоскости основания геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектрисой. Следовательно, точка $K$ лежит на биссектрисе прямого угла $C$.

3. Нахождение высоты пирамиды.

Итак, точка $K$ — это точка пересечения гипотенузы $AB$ и биссектрисы угла $C$.
Опустим из точки $K$ перпендикуляры $KM$ на катет $AC$ и $KN$ на катет $BC$. Так как $K$ лежит на биссектрисе угла $C$, то $KM = KN$. Четырехугольник $CKMN$ является квадратом, так как у него три прямых угла и смежные стороны $KM$ и $KN$ равны. Обозначим длину $KM = KN = x$.
Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники $AMK$ и $ABC$. Они подобны по общему острому углу $A$. Из подобия следует соотношение сторон: $ \frac{KM}{BC} = \frac{AM}{AC} $.
Мы знаем, что $AM = AC - MC = a - x$. Подставим известные значения: $ \frac{x}{a \tan(\alpha)} = \frac{a - x}{a} $.
Решим это уравнение относительно $x$: $ ax = (a-x) \cdot a \tan(\alpha) $
$ x = (a-x) \tan(\alpha) $
$ x = a \tan(\alpha) - x \tan(\alpha) $
$ x(1 + \tan(\alpha)) = a \tan(\alpha) $
$ x = \frac{a \tan(\alpha)}{1 + \tan(\alpha)} $.
Теперь найдем высоту пирамиды $H = SK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SKM$. Угол $ \angle SMK = \beta $ (линейный угол двугранного угла между гранью $SAC$ и основанием). $ \tan(\beta) = \frac{SK}{KM} = \frac{H}{x} \Rightarrow H = x \cdot \tan(\beta) $.
Подставим найденное значение $x$: $ H = \frac{a \tan(\alpha)}{1 + \tan(\alpha)} \cdot \tan(\beta) $.

4. Вычисление объёма пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $ V = \frac{1}{3} S_{осн} H $.
Подставим найденные выражения для площади основания и высоты: $ V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} a^2 \tan(\alpha) \right) \cdot \left( \frac{a \tan(\alpha) \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)} \right) $.
Упростим выражение: $ V = \frac{a^3 \tan^2(\alpha) \tan(\beta)}{6(1 + \tan(\alpha))} $.

Ответ: $ V = \frac{a^3 \tan^2(\alpha) \tan(\beta)}{6(1 + \tan(\alpha))} $.