Номер 43, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 43, страница 143.

Условие.

18.43. Основания усечённой пирамиды – правильные треугольники со сторонами $a$ и $b$, $a > b$. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна основаниям, а две другие образуют с большим основанием угол $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований, а $H$ — высота усеченной пирамиды.

Основания усеченной пирамиды — правильные треугольники со сторонами $a$ и $b$. Найдем их площади:

Площадь большего основания: $S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Площадь меньшего основания: $S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

Тогда $\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{a^2 b^2 \cdot 3}{16}} = \frac{ab\sqrt{3}}{4}$.

Сумма в скобках в формуле объема равна: $S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + ab + b^2)$.

Теперь найдем высоту усеченной пирамиды $H$. Для этого рассмотрим полную пирамиду, отсечением вершины которой получена данная усеченная пирамида. Пусть $S$ — вершина полной пирамиды, а ее основание — треугольник $ABC$ со стороной $a$. Условия задачи для усеченной пирамиды переносятся и на полную пирамиду.

1. Одна из боковых граней, назовем ее $SAB$, перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Это означает, что высота полной пирамиды, опущенная из вершины $S$, лежит в плоскости грани $SAB$. Следовательно, основание высоты (точка $H_s$) лежит на прямой $AB$.

2. Две другие боковые грани, $SAC$ и $SBC$, образуют с плоскостью основания одинаковый угол $\alpha$. Это означает, что основание высоты $H_s$ равноудалено от прямых $AC$ и $BC$, то есть лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, его биссектриса, проведенная из вершины $C$, является также медианой и высотой. Эта линия пересекает сторону $AB$ в ее середине. Обозначим середину $AB$ как точку $N$. Таким образом, точка $H_s$ — это точка $N$, середина стороны $AB$.

Высотой полной пирамиды является отрезок $SN$, и его длина $h = |SN|$.

Угол $\alpha$ — это двугранный угол между боковой гранью (например, $SAC$) и основанием. Чтобы его найти, из основания высоты $N$ опустим перпендикуляр $NK$ на ребро $AC$. По теореме о трех перпендикулярах, отрезок $SK$ также будет перпендикулярен $AC$. Следовательно, угол $\angle SKN$ и есть искомый угол $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ANC$. В нем $AN = a/2$ и $\angle CAN = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $AKN$ (с прямым углом при $K$), катет $NK$ равен:$NK = AN \sin(60^\circ) = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Теперь из прямоугольного треугольника $SNK$ найдем высоту полной пирамиды $h$:$\tan(\alpha) = \frac{SN}{NK} \Rightarrow h = SN = NK \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{4}\tan(\alpha)$.

Высота усеченной пирамиды $H$ связана с высотой полной пирамиды $h$ через коэффициент подобия, равный отношению сторон оснований $\frac{b}{a}$. Высота отсеченной малой пирамиды $h_1 = h \cdot \frac{b}{a}$.Тогда высота усеченной пирамиды:$H = h - h_1 = h \left(1 - \frac{b}{a}\right) = h \frac{a-b}{a}$.

Подставим найденное значение $h$:$H = \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\tan(\alpha)\right) \frac{a-b}{a} = \frac{(a-b)\sqrt{3}}{4}\tan(\alpha)$.

Теперь мы можем вычислить объем усеченной пирамиды, подставив все найденные величины в исходную формулу:$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{(a-b)\sqrt{3}}{4}\tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + ab + b^2)\right)$.

Упростим полученное выражение:$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a-b) \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot (a^2 + ab + b^2) \tan(\alpha)}{4 \cdot 4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3(a-b)(a^2 + ab + b^2)\tan(\alpha)}{16}$.

Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, окончательно получаем:$V = \frac{(a^3 - b^3)\tan(\alpha)}{16}$.

Ответ: $V = \frac{(a^3 - b^3)\tan(\alpha)}{16}$.