Номер 42, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 42, страница 143.

Условие.

18.42. Основания усечённой пирамиды — квадраты со сторонами $a$ и $b$, $a > b$. Одна из боковых граней пирамиды является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям, а противолежащая ей грань образует с большим основанием угол $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

Основания пирамиды — квадраты со сторонами $a$ и $b$. Следовательно, их площади равны: $S_1 = a^2$ и $S_2 = b^2$.

Для нахождения объема необходимо определить высоту $h$. Рассмотрим геометрические свойства усеченной пирамиды, исходя из условий задачи.

Одна из боковых граней является равнобокой трапецией, и ее плоскость перпендикулярна плоскостям оснований. Обозначим эту грань $F_1$. Так как трапеция $F_1$ равнобокая, ее высота, проведенная между серединами ее оснований, перпендикулярна этим основаниям (которые являются сторонами квадратов). Поскольку плоскость грани $F_1$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды, то высота этой трапеции является высотой $h$ всей усеченной пирамиды.

Противолежащая грань $F_2$ образует с большим основанием угол $\alpha$. Этот угол является двугранным углом между плоскостью грани $F_2$ и плоскостью большого основания. Чтобы найти его, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной основаниям и проходящей через середины сторон оснований, принадлежащих граням $F_1$ и $F_2$.

Это сечение представляет собой трапецию. Обозначим ее вершины $M, N, N_1, M_1$. Основания этой трапеции равны сторонам квадратов, т.е. $MN = a$ и $M_1N_1 = b$. Боковая сторона $MM_1$ соответствует высоте грани $F_1$ и, как мы выяснили, является высотой пирамиды $h$. При этом $MM_1$ перпендикулярна основанию $MN$. Следовательно, сечение $MNN_1M_1$ — это прямоугольная трапеция.

Угол, который образует грань $F_2$ с основанием, — это угол при вершине $N$ в нашей трапеции, то есть $\angle MNN_1 = \alpha$.

Для нахождения высоты $h$ опустим из точки $N_1$ перпендикуляр $N_1K$ на основание $MN$. Получим прямоугольный треугольник $N_1KN$. В этом треугольнике:

• Катет $N_1K$ равен высоте трапеции $MNN_1M_1$, то есть $N_1K = MM_1 = h$.
• Катет $KN$ равен разности длин оснований трапеции: $KN = MN - MK = MN - M_1N_1 = a - b$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $N_1KN$ имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{N_1K}{KN} = \frac{h}{a - b}$

Отсюда выражаем высоту $h$:

$h = (a - b) \tan(\alpha)$

Теперь подставим все найденные значения в формулу для объема усеченной пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} (a - b) \tan(\alpha) (a^2 + b^2 + \sqrt{a^2 b^2})$

Поскольку $a$ и $b$ — длины сторон, они положительны, и $\sqrt{a^2 b^2} = ab$.

$V = \frac{1}{3} (a - b) \tan(\alpha) (a^2 + ab + b^2)$

Выражение в скобках $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ является формулой разности кубов $a^3 - b^3$.

Таким образом, окончательное выражение для объема:

$V = \frac{1}{3} (a^3 - b^3) \tan(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{1}{3} (a^3 - b^3) \tan(\alpha)$