Номер 45, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 45, страница 143.

Условие.

18.45. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 9 см и 15 см, а большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $∠A = ∠B = 90°$. $C$ — вершина тупого угла. Проведём из неё высоту $CH$ на большее основание $AD$.

По условию, $ABCD$ — прямоугольная трапеция, значит $ABCH$ — прямоугольник. Отсюда следует, что высота $CH$ равна боковой стороне $AB$, а $AH = BC$. Обозначим меньшее основание $BC = b$, а большее основание $AD = a$. Высота трапеции $h = CH$. Большая боковая сторона — $CD$.

Большая диагональ — это $BD$. Она пересекает высоту $CH$ в некоторой точке $O$. Высота $CH$ делится точкой $O$ на отрезки $CO$ и $OH$. Общая длина высоты $h = CH = 15 + 9 = 24$ см.

Рассмотрим треугольники $△BOC$ и $△DOH$.

• $BC \parallel AD$ (основания трапеции), следовательно $BC \parallel DH$.
• $∠BOC = ∠DOH$ как вертикальные углы.
• $∠OBC = ∠ODH$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

Следовательно, $△BOC \sim △DOH$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{CO}{OH} = \frac{BC}{DH}$

Точка пересечения диагонали с высотой будет ближе к большему основанию, поэтому $CO$ — больший отрезок, а $OH$ — меньший. Таким образом, $CO=15$ см, а $OH=9$ см.

Подставим известные значения: $BC=b$, $DH = AD - AH = a - b$.

$\frac{15}{9} = \frac{b}{a-b}$

$\frac{5}{3} = \frac{b}{a-b}$

$5(a-b) = 3b$

$5a - 5b = 3b$

$5a = 8b$

Это наше первое уравнение, связывающее основания $a$ и $b$.

По второму условию задачи, большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию: $CD = BC = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $△CHD$ (так как $CH$ — высота, $∠CHD = 90°$). По теореме Пифагора:

$CH^2 + DH^2 = CD^2$

Подставим известные нам выражения: $CH = 24$, $DH = a-b$, $CD = b$.

$24^2 + (a-b)^2 = b^2$

Это наше второе уравнение.

Теперь решим систему из двух уравнений:

1) $5a = 8b \Rightarrow a = \frac{8}{5}b$

2) $24^2 + (a-b)^2 = b^2$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$576 + (\frac{8}{5}b - b)^2 = b^2$

$576 + (\frac{3}{5}b)^2 = b^2$

$576 + \frac{9}{25}b^2 = b^2$

$576 = b^2 - \frac{9}{25}b^2$

$576 = \frac{16}{25}b^2$

$b^2 = \frac{576 \cdot 25}{16}$

$b^2 = 36 \cdot 25$

$b = \sqrt{36 \cdot 25} = 6 \cdot 5 = 30$ см.

Итак, меньшее основание $BC = b = 30$ см.

Теперь найдём большее основание $a$:

$a = \frac{8}{5}b = \frac{8}{5} \cdot 30 = 8 \cdot 6 = 48$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{48+30}{2} \cdot 24 = \frac{78}{2} \cdot 24 = 39 \cdot 24 = 936$ см$^2$.

Ответ: $936$ см$^2$.