Номер 44, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 44, страница 143.

Условие.

18.44. Высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см, а угол между ними – $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны соответственно $h_a = 8$ см и $h_b = 12$ см. Пусть $\alpha$ — острый угол параллелограмма.

Угол между высотами, проведенными из одной вершины, равен острому углу параллелограмма. Поскольку угол между высотами по условию равен $60^\circ$, то острый угол параллелограмма $\alpha$ также равен $60^\circ$.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле:
$S = a \cdot h_a$

Также из прямоугольного треугольника, образованного стороной $a$, высотой $h_b$ и углом $\alpha$, можно выразить высоту:
$h_b = a \cdot \sin(\alpha)$
Отсюда выразим сторону $a$:
$a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$

Теперь подставим полученное выражение для стороны $a$ в формулу площади:
$S = \left(\frac{h_b}{\sin(\alpha)}\right) \cdot h_a = \frac{h_a \cdot h_b}{\sin(\alpha)}$

Подставим числовые значения в выведенную формулу: $h_a=8$ см, $h_b=12$ см, $\alpha=60^\circ$:
$S = \frac{8 \cdot 12}{\sin(60^\circ)} = \frac{96}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Выполним вычисления:
$S = \frac{96 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{192}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$S = \frac{192 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{192\sqrt{3}}{3} = 64\sqrt{3}$ (см²).

Ответ: $64\sqrt{3}$ см².