Номер 46, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 46, страница 143.

Условие.

18.46. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и параллельной каждому из векторов $\vec{a} (-4; 6; 5)$ и $\vec{b} (-2; 4; 3)$.

Решение 1.

Решение 3.

Для составления уравнения плоскости нам необходима точка, принадлежащая плоскости, и вектор нормали (перпендикулярный) к этой плоскости.

1. Из условия задачи известно, что плоскость проходит через начало координат, то есть через точку $M_0(0; 0; 0)$.

2. Также дано, что плоскость параллельна двум векторам: $\vec{a}(-4; 6; 5)$ и $\vec{b}(-2; 4; 3)$. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости должен быть перпендикулярен обоим этим векторам. Такой вектор можно найти с помощью векторного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Найдем векторное произведение $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 6 & 5 \\ -2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -4 & 5 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -4 & 6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix}$

Вычислим определители для каждой компоненты:

Компонента при $\vec{i}$: $6 \cdot 3 - 5 \cdot 4 = 18 - 20 = -2$

Компонента при $\vec{j}$: $-(-4 \cdot 3 - 5 \cdot (-2)) = -(-12 + 10) = -(-2) = 2$

Компонента при $\vec{k}$: $-4 \cdot 4 - 6 \cdot (-2) = -16 + 12 = -4$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}$ имеет координаты $(-2; 2; -4)$.

3. Теперь, имея точку $M_0(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$ и вектор нормали $\vec{n}(A, B, C) = (-2, 2, -4)$, мы можем составить уравнение плоскости по формуле:$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставляем наши значения:

$-2(x - 0) + 2(y - 0) - 4(z - 0) = 0$

$-2x + 2y - 4z = 0$

Для упрощения уравнения разделим все его члены на $-2$:

$x - y + 2z = 0$

Ответ: $x - y + 2z = 0$