Номер 41, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 41, страница 143.

Условие.

18.41. Основания усечённой пирамиды – равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами $a$ и $b$, $a > b$. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты оснований, перпендикулярны основаниям, а третья боковая грань образует с большим основанием угол $\beta$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади большего и меньшего оснований усечённой пирамиды соответственно. Основаниями являются равнобедренные прямоугольные треугольники.

Найдём катеты и площади оснований.Для большего основания с гипотенузой $a$ катеты равны $k_1$. По теореме Пифагора: $k_1^2 + k_1^2 = a^2$, откуда $2k_1^2 = a^2$, и $k_1 = \frac{a}{\sqrt{2}}$.Площадь большего основания: $S_1 = \frac{1}{2} k_1^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$.

Аналогично для меньшего основания с гипотенузой $b$ катеты равны $k_2 = \frac{b}{\sqrt{2}}$.Площадь меньшего основания: $S_2 = \frac{1}{2} k_2^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{b^2}{4}$.

Согласно условию, две боковые грани, содержащие катеты оснований, перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что их общее боковое ребро (которое соединяет вершины прямых углов оснований) перпендикулярно основаниям и является высотой усечённой пирамиды $H$.

Третья боковая грань, содержащая гипотенузы, образует с большим основанием угол $\beta$. Этот угол является двугранным углом между плоскостью этой грани и плоскостью большого основания. Величиной этого угла является угол между перпендикулярами, проведёнными к линии их пересечения (гипотенузе $a$). В качестве таких перпендикуляров выступают высоты, проведённые к гипотенузам в треугольнике большого основания и в трапеции третьей боковой грани.

Рассмотрим сечение пирамиды, перпендикулярное гипотенузам оснований. Это сечение содержит высоты оснований, проведённые к гипотенузам, и высоту самой пирамиды. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Пусть $h_1$ и $h_2$ — высоты треугольников оснований, проведённые к гипотенузам $a$ и $b$ соответственно.$h_1 = \frac{a}{2}$$h_2 = \frac{b}{2}$

В данном сечении образуется прямоугольная трапеция, основаниями которой являются отрезки $h_1$ и $h_2$, одной боковой стороной — высота пирамиды $H$, а другой — апофема третьей боковой грани. Угол между этой апофемой и основанием $h_1$ равен $\beta$.Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, разностью $h_1 - h_2$ и апофемой, находим:$\tan(\beta) = \frac{H}{h_1 - h_2} = \frac{H}{\frac{a}{2} - \frac{b}{2}} = \frac{2H}{a-b}$Отсюда выражаем высоту $H$:$H = \frac{a-b}{2} \tan(\beta)$

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$Подставим найденные значения $H$, $S_1$ и $S_2$:$S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{b^2}{4}} = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \frac{ab}{4} = \frac{a^2 + ab + b^2}{4}$$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a-b}{2} \tan(\beta)\right) \cdot \left(\frac{a^2 + ab + b^2}{4}\right)$$V = \frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{24} \tan(\beta)$

Применяя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, получаем окончательное выражение для объёма:$V = \frac{a^3 - b^3}{24} \tan(\beta)$

Ответ: $V = \frac{a^3 - b^3}{24} \tan(\beta)$