Номер 39, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 39, страница 142.

Условие.

18.39. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Боковая грань пирамиды, содержащая основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости этого треугольника, а две другие грани наклонены к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Решение задачи сводится к нахождению этих двух величин.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник (обозначим его $ABC$) с боковыми сторонами $AB = AC = a$ и углами при основании $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$.

Угол при вершине треугольника равен $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha$.

Площадь основания можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha)$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, боковая грань, содержащая основание $BC$ равнобедренного треугольника (грань $SBC$), перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Из этого следует, что высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания, лежит в плоскости грани $SBC$. Обозначим эту высоту $SM$, тогда её основание, точка $M$, лежит на прямой $BC$.

Две другие грани, $SAB$ и $SAC$, наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $\beta$. Это означает, что основание высоты пирамиды (точка $M$) равноудалено от прямых $AB$ и $AC$. В плоскости основания точка, лежащая на прямой $BC$ и равноудаленная от прямых $AB$ и $AC$, является основанием высоты, медианы и биссектрисы, проведённой из вершины $A$. Следовательно, точка $M$ — это середина отрезка $BC$.

Таким образом, высота пирамиды — это отрезок $H = SM$.

Угол наклона грани к плоскости основания — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Для грани $SAB$ построим его. Проведём из точки $M$ в плоскости основания перпендикуляр $MK$ к стороне $AB$. Так как $SM$ — высота пирамиды ($SM \perp (ABC)$), то $MK$ является проекцией наклонной $SK$ на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах, $SK$ также перпендикулярна $AB$. Следовательно, $\angle SKM$ — это линейный угол двугранного угла, и по условию $\angle SKM = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SMK$ ($\angle SMK = 90^\circ$). Из него находим высоту пирамиды: $H = SM = MK \cdot \tan(\beta)$.

Теперь нужно найти длину $MK$. В треугольнике основания $ABC$ проведём высоту $AM$. Так как треугольник равнобедренный, $AM$ также является медианой, поэтому $AM \perp BC$. В прямоугольном треугольнике $AMB$ сторона $BM = AB \cos(\alpha) = a \cos(\alpha)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BKM$ (прямой угол при $K$). В нём $\angle KBM = \alpha$, а гипотенуза $BM = a \cos(\alpha)$. Катет $MK$ равен:

$MK = BM \cdot \sin(\angle KBM) = (a \cos \alpha) \cdot \sin \alpha = a \sin \alpha \cos \alpha$.

Подставим найденное значение $MK$ в формулу для высоты пирамиды:

$H = (a \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \tan \beta$.

3. Вычисление объёма пирамиды

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объём пирамиды.

$S_{осн} = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} a^2 (2 \sin \alpha \cos \alpha) = a^2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$H = a \sin \alpha \cos \alpha \tan \beta$.

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (a^2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot (a \sin \alpha \cos \alpha \tan \beta) = \frac{1}{3} a^3 (\sin \alpha \cos \alpha)^2 \tan \beta$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.

Тогда $(\sin \alpha \cos \alpha)^2 = \left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4}$.

Подставим это выражение в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} a^3 \cdot \frac{\sin^2(2\alpha)}{4} \cdot \tan \beta = \frac{a^3 \sin^2(2\alpha) \tan \beta}{12}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \sin^2(2\alpha) \tan \beta}{12}$