Номер 32, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 32, страница 142.

Условие.

18.32. Высота пирамиды равна 27 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию этой пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, площади оснований которой равны $32 \text{ см}^2$ и $162 \text{ см}^2$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды используется формула:$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$,где $h$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

В условии задачи даны площади оснований усечённой пирамиды: $S_1 = 162 \text{ см}^2$ и $S_2 = 32 \text{ см}^2$. Высота исходной (полной) пирамиды равна $H = 27 \text{ см}$. Высота усечённой пирамиды $h$ нам неизвестна.

Усечённая пирамида получается отсечением от полной пирамиды меньшей пирамиды, подобной исходной. Обозначим высоту этой отсечённой (меньшей) пирамиды как $h_2$. Тогда высота усечённой пирамиды будет равна $h = H - h_2$.

Для подобных пирамид отношение площадей их оснований равно квадрату отношения их высот:$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{h_2}{H})^2$

Подставим известные значения в это соотношение:$\frac{32}{162} = (\frac{h_2}{27})^2$

Упростим дробь в левой части, сократив её на 2:$\frac{16}{81} = (\frac{h_2}{27})^2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:$\sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{h_2}{27}$$\frac{4}{9} = \frac{h_2}{27}$

Отсюда найдём высоту малой пирамиды $h_2$:$h_2 = \frac{4}{9} \times 27 = 4 \times 3 = 12 \text{ см}$

Теперь можем найти высоту усечённой пирамиды $h$:$h = H - h_2 = 27 - 12 = 15 \text{ см}$

У нас есть все данные для расчёта объёма усечённой пирамиды. Подставим значения $h=15$, $S_1=162$ и $S_2=32$ в формулу объёма:$V = \frac{1}{3} \times 15 \times (162 + \sqrt{162 \times 32} + 32)$

Сначала вычислим значение выражения под корнем:$\sqrt{162 \times 32} = \sqrt{(81 \times 2) \times (16 \times 2)} = \sqrt{81 \times 16 \times 4} = \sqrt{81} \times \sqrt{16} \times \sqrt{4} = 9 \times 4 \times 2 = 72$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:$V = 5 \times (162 + 72 + 32)$$V = 5 \times 266$$V = 1330 \text{ см}^3$

Ответ: 1330 см³.