Номер 30, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 30, страница 142.

Условие.

18.30. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны $a$ и $b$, $a > b$. Угол между боковым ребром пирамиды и большим основанием равен $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

где $H$ – высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

Так как основаниями являются квадраты со сторонами $a$ и $b$, их площади равны:

$S_1 = a^2$

$S_2 = b^2$

Для нахождения высоты $H$ рассмотрим диагональное сечение усечённой пирамиды. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой являются диагонали квадратов оснований пирамиды, а боковыми сторонами – боковые рёбра пирамиды.

Пусть $d_1$ и $d_2$ – диагонали большего и меньшего оснований соответственно.

$d_1 = a\sqrt{2}$

$d_2 = b\sqrt{2}$

Угол $\alpha$ между боковым ребром и большим основанием – это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость этого основания. В нашем диагональном сечении это будет угол при большем основании трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой $H$ и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен высоте $H$. Прилежащий катет равен разности полудиагоналей оснований.

Длина прилежащего катета равна:

$\frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}$

Из определения тангенса в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan \alpha = \frac{H}{\frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}}$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan \alpha$

Теперь подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$ в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \right) \cdot (a^2 + b^2 + \sqrt{a^2b^2})$

$V = \frac{(a-b)\sqrt{2} \tan \alpha}{6} (a^2 + b^2 + ab)$

Воспользуемся формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

$V = \frac{\sqrt{2}}{6} (a^3 - b^3) \tan \alpha$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{2}}{6}(a^3 - b^3)\tan\alpha$