Номер 27, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 27, страница 141.

Условие.

18.27. Грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны основанию, а грань $DBC$ наклонена к основанию под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если $AB = BC = m$, $\angle BAC = \alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $DA$, также перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, $DA$ является высотой пирамиды $H$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Найдем площадь основания $S_{осн}$ и высоту $H$.

1. Нахождение площади основания
Основанием пирамиды является треугольник $ABC$. По условию $AB = BC = m$ и $\angle BAC = \alpha$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $\angle BCA = \angle BAC = \alpha$. Тогда третий угол треугольника $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$. Площадь основания $S_{ABC}$ можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} m \cdot m \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha)$.

2. Нахождение высоты пирамиды
Грань $DBC$ наклонена к основанию под углом $\beta$. Этот угол является двугранным углом между плоскостями $(DBC)$ и $(ABC)$ при ребре $BC$. Для построения его линейного угла опустим из точки $A$ в плоскости основания высоту $AK$ на сторону $BC$, то есть $AK \perp BC$. Так как $DA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, то $AK$ является проекцией наклонной $DK$ на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, из $AK \perp BC$ следует, что и наклонная $DK$ перпендикулярна $BC$ ($DK \perp BC$). Таким образом, $\angle DKA$ является линейным углом двугранного угла, и по условию $\angle DKA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAK$ (угол $\angle DAK = 90^\circ$, так как $DA \perp AK$). Из этого треугольника выразим высоту пирамиды $H = DA$:
$\tan(\beta) = \frac{DA}{AK}$, откуда $H = DA = AK \cdot \tan(\beta)$.

Для нахождения длины $AK$ воспользуемся формулой площади треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AK$. Подставим известные значения:
$\frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} m \cdot AK$.
Отсюда находим $AK = m \sin(2\alpha)$.

Теперь можем найти высоту пирамиды:
$H = AK \cdot \tan(\beta) = m \sin(2\alpha) \tan(\beta)$.

3. Вычисление объёма пирамиды
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot \left(m \sin(2\alpha) \tan(\beta)\right) = \frac{1}{6} m^3 \sin^2(2\alpha) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} m^3 \sin^2(2\alpha) \tan(\beta)$.