Номер 20, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 20, страница 141.

Условие.

18.20. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть катет $AC = a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = \alpha$. Обозначим вершину пирамиды как $S$.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$) наклонено к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это свойство означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Обозначим эту проекцию (основание высоты) как точку $O$. Таким образом, высота пирамиды $H = SO$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, точка $O$ — это середина гипотенузы $AB$. Радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы: $R = OA = OB = OC = \frac{1}{2} AB$.

Сначала найдем все необходимые параметры треугольника основания $ABC$:
1. Найдем второй катет $BC$, используя тангенс угла $\alpha$:
$\tan \alpha = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \tan \alpha = a \tan \alpha$.
2. Найдем гипотенузу $AB$, используя косинус угла $\alpha$:
$\cos \alpha = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{AC}{\cos \alpha} = \frac{a}{\cos \alpha}$.
3. Вычислим площадь основания $S_{осн}$:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \tan \alpha) = \frac{1}{2} a^2 \tan \alpha$.

Теперь найдем высоту пирамиды $H = SO$.
Радиус описанной окружности $R$ равен:
$R = OA = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\cos \alpha} = \frac{a}{2 \cos \alpha}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$, так как $SO$ — высота). Угол наклона бокового ребра $SA$ к плоскости основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией $OA$, то есть $\angle SAO$. По условию $\angle SAO = \beta$.
Из треугольника $SOA$ найдем высоту $H=SO$:
$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} \Rightarrow \tan \beta = \frac{H}{R}$.
$H = R \cdot \tan \beta = \left(\frac{a}{2 \cos \alpha}\right) \cdot \tan \beta = \frac{a \tan \beta}{2 \cos \alpha}$.

Наконец, вычислим объём пирамиды $V$ по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$:
$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \tan \alpha\right) \cdot \left(\frac{a \tan \beta}{2 \cos \alpha}\right) = \frac{a^3 \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos \alpha}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos \alpha}$.