Номер 19, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 19, страница 140.

Условие.

18.19. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 24 см и 18 см, а каждое её боковое ребро равно 25 см. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $24$ см и $18$ см. Вычислим его площадь:
$S_{осн} = 24 \cdot 18 = 432$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.
Поскольку все боковые рёбра пирамиды равны ($l = 25$ см), то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и половина диагонали основания $R = d/2$ образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой.
Сначала найдём длину диагонали основания $d$ по теореме Пифагора:
$d^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$ см²
$d = \sqrt{900} = 30$ см.
Расстояние от центра основания до его вершины (половина диагонали) равно:
$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.
Теперь найдём высоту $H$ из этого же прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$H^2 = l^2 - R^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$ см²
$H = \sqrt{400} = 20$ см.

3. Найдём объём пирамиды.
Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 20 = 144 \cdot 20 = 2880$ см³.

Ответ: $2880$ см³.