Номер 16, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 16, страница 140.

Условие.

18.16. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $b$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для нахождения объема необходимо определить площадь основания и высоту пирамиды через заданные параметры: боковое ребро $b$ и плоский угол при вершине $\beta$.

Сначала найдем сторону основания пирамиды. Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами $b$ и углом между ними $\beta$. Сторону основания $a$ можно найти по теореме косинусов для этой грани:

$a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos\beta = 2b^2(1 - \cos\beta)$

Используя формулу половинного угла $1 - \cos\beta = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, получим:

$a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})$

Следовательно, сторона основания равна $a = 2b\sin(\frac{\beta}{2})$.

Далее найдем площадь основания. Так как пирамида правильная, ее основанием является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь такого треугольника равна:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставив выражение для $a^2$, получаем:

$S_{осн} = \frac{4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})\sqrt{3}}{4} = b^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})$

Теперь определим высоту пирамиды $H$. Высота правильной пирамиды соединяет вершину с центром основания, который является центром описанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $H$ и радиус $R$ описанной окружности основания, а гипотенузой — боковое ребро $b$.

Радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим выражение для $a$:

$R = \frac{2b\sin(\frac{\beta}{2})}{\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора $H^2 + R^2 = b^2$, откуда:

$H^2 = b^2 - R^2 = b^2 - \left(\frac{2b\sin(\frac{\beta}{2})}{\sqrt{3}}\right)^2 = b^2 - \frac{4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})}{3} = b^2\left(1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})\right)$

Таким образом, высота $H = b\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})}$.

Наконец, вычислим объем пирамиды, подставив найденные $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot b^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\beta}{2}) \cdot b\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})}$

$V = \frac{\sqrt{3}}{3}b^3\sin^2(\frac{\beta}{2})\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})}$

Для упрощения и избавления от дроби под корнем, можно внести $\sqrt{3}$ под второй корень:

$V = \frac{1}{3}b^3\sin^2(\frac{\beta}{2})\sqrt{3\left(1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})\right)} = \frac{1}{3}b^3\sin^2(\frac{\beta}{2})\sqrt{3 - 4\sin^2(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $V = \frac{1}{3}b^3\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)\sqrt{3 - 4\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)}$