Номер 13, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 13, страница 140.

Условие.

18.13. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$ и образует с высотой пирамиды угол $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Так как пирамида правильная четырёхугольная, в её основании лежит квадрат. Высота пирамиды $H$ опускается в центр этого квадрата, который является точкой пересечения его диагоналей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $b$ (которое является гипотенузой) и половиной диагонали основания (которое является катетом). Угол между боковым ребром $b$ и высотой $H$ по условию равен $\alpha$.

Из этого треугольника, используя тригонометрические функции, выразим высоту $H$ и половину диагонали основания.

Высота $H$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, поэтому: $H = b \cos\alpha$.

Половина диагонали основания является катетом, противолежащим углу $\alpha$, поэтому её длина равна: $\frac{d}{2} = b \sin\alpha$.

Следовательно, вся диагональ основания $d$ равна: $d = 2b \sin\alpha$.

Площадь основания (квадрата) $S_{осн}$ можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{1}{2} d^2$: $S_{осн} = \frac{1}{2} (2b \sin\alpha)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4b^2 \sin^2\alpha = 2b^2 \sin^2\alpha$.

Теперь подставим найденные выражения для высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ в формулу объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (2b^2 \sin^2\alpha) (b \cos\alpha)$.

Упрощая выражение, получаем окончательный результат: $V = \frac{2}{3} b^3 \sin^2\alpha \cos\alpha$.

Ответ: $ \frac{2}{3} b^3 \sin^2\alpha \cos\alpha $.