Номер 7, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 7, страница 139.

Условие.

18.7. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма правильной четырёхугольной пирамиды воспользуемся формулой:

$$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. По условию, сторона основания $a = 4 \text{ см}$. Следовательно, площадь основания равна:

$$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$$

Теперь найдём высоту пирамиды $H$. Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — центр квадрата в основании. Проведём апофему $SM$ к стороне основания $CD$ (где $M$ — середина $CD$). Тогда отрезок $OM$ будет перпендикулярен стороне $CD$ и его длина будет равна половине стороны квадрата:

$$OM = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$$

Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, и по условию он равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$, где $\angle O = 90^\circ$. Высота пирамиды $H = SO$ является катетом этого треугольника. Мы можем найти её через тангенс угла $\angle SMO$:

$$\text{tg}(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$$

$$H = SO = OM \cdot \text{tg}(60^\circ)$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$H = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$

Наконец, вычислим объём пирамиды, подставив найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в исходную формулу:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3$$

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3$.