Номер 4, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 4, страница 139.

Условие.

18.4. Как изменится объём пирамиды, если каждую сторону её основания увеличить в 3 раза, а высоту – в 4 раза?

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пусть первоначальный объём пирамиды равен $V_1$, площадь её основания — $S_1$, а высота — $h_1$. Тогда $V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1$.

Согласно условию задачи, каждую сторону основания увеличили в 3 раза. Площадь основания является величиной, пропорциональной квадрату линейных размеров. Следовательно, если стороны основания увеличить в 3 раза, то его площадь увеличится в $3^2 = 9$ раз. Новая площадь основания $S_2$ будет равна:$S_2 = 9 S_1$.

Высоту пирамиды увеличили в 4 раза. Новая высота $h_2$ будет равна:$h_2 = 4 h_1$.

Теперь найдём новый объём пирамиды $V_2$, используя новые значения площади основания и высоты:$V_2 = \frac{1}{3} S_2 h_2 = \frac{1}{3} (9 S_1) (4 h_1)$.

Сгруппируем множители, чтобы выразить новый объём через первоначальный:$V_2 = (9 \cdot 4) \cdot (\frac{1}{3} S_1 h_1) = 36 \cdot V_1$.

Таким образом, новый объём пирамиды в 36 раз больше первоначального.

Ответ: объём увеличится в 36 раз.