Номер 5, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 5, страница 139.

Условие.

18.5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 5$ см. Площадь правильного шестиугольника состоит из шести площадей равносторонних треугольников со стороной $a$. Формула площади правильного шестиугольника: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.Подставим в формулу значение стороны $a = 5$ см:$S_{осн} = \frac{3 \cdot 5^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 25 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}$ см².

Далее найдём высоту пирамиды $H$. Высота, боковое ребро $l$ и радиус $R$ описанной около основания окружности образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой. По теореме Пифагора, $H^2 + R^2 = l^2$.Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a = 5$ см.Длина бокового ребра дана в условии: $l = 13$ см.Теперь можем найти высоту из теоремы Пифагора:$H^2 = l^2 - R^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Наконец, вычислим объём пирамиды, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{75\sqrt{3}}{2} \cdot 12$.$V = \frac{75\sqrt{3} \cdot 12}{6} = 75\sqrt{3} \cdot 2 = 150\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $150\sqrt{3}$ см³.