Номер 6, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 6, страница 139.

Условие.

18.6. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро – $b$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Так как пирамида правильная четырёхугольная, в её основании лежит квадрат со стороной $a$. Площадь основания равна:

$S_{осн} = a^2$

Высота $H$ правильной пирамиды опускается из её вершины в центр основания. Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $H$ и половина диагонали основания $d/2$, а гипотенузой — боковое ребро $b$.

Диагональ $d$ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, половина диагонали равна:

$\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

По теореме Пифагора для указанного прямоугольного треугольника имеем:

$b^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$

Отсюда выразим квадрат высоты:

$H^2 = b^2 - \frac{a^2 \cdot 2}{4} = b^2 - \frac{a^2}{2}$

Тогда высота пирамиды равна:

$H = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$

Теперь подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$

Ответ: $V = \frac{1}{3}a^2\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$