Номер 40, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 40, страница 135.

Условие.

17.40. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 7,5 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$. Найдите расстояние от вершины $B$ до ортоцентра треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 7,5$ см и $AC = 12$ см. Требуется найти расстояние от вершины $B$ до ортоцентра треугольника.

Решение:

Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника. Для начала определим некоторые параметры данного треугольника.

1. Нахождение высоты $BM$

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, высота $BM$, проведенная из вершины $B$ к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ делит основание $AC$ пополам.

$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BM$:

$BM^2 = AB^2 - AM^2 = (7,5)^2 - 6^2 = 56,25 - 36 = 20,25$

$BM = \sqrt{20,25} = 4,5$ см.

2. Определение типа треугольника

Чтобы понять, где расположен ортоцентр (внутри или вне треугольника), определим тип треугольника, вычислив косинус угла $B$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$12^2 = (7,5)^2 + (7,5)^2 - 2 \cdot 7,5 \cdot 7,5 \cdot \cos(\angle B)$

$144 = 56,25 + 56,25 - 112,5 \cdot \cos(\angle B)$

$144 = 112,5 - 112,5 \cdot \cos(\angle B)$

$112,5 \cdot \cos(\angle B) = 112,5 - 144 = -31,5$

$\cos(\angle B) = -\frac{31,5}{112,5} = -\frac{315}{1125} = -\frac{7}{25}$

Так как $\cos(\angle B) < 0$, угол $B$ является тупым, а треугольник $ABC$ — тупоугольным. В тупоугольном треугольнике ортоцентр $H$ лежит вне треугольника на продолжении высоты, опущенной из вершины тупого угла. Таким образом, ортоцентр $H$ лежит на прямой $BM$ на продолжении отрезка $BM$ за вершину $B$.

3. Вычисление расстояния $BH$

Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ к прямой $AB$. Поскольку угол $B$ тупой, точка $K$ будет лежать на продолжении стороны $AB$ за вершину $B$. Ортоцентр $H$ — это точка пересечения прямых $BM$ и $CK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ (с прямым углом $K$). Угол $\angle KBC$ смежный с углом $\angle ABC$, поэтому:

$\cos(\angle KBC) = \cos(180^\circ - \angle ABC) = -\cos(\angle ABC) = -(-\frac{7}{25}) = \frac{7}{25}$

В прямоугольном треугольнике $BKC$ найдем катет $BK$:

$BK = BC \cdot \cos(\angle KBC) = 7,5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{15}{2} \cdot \frac{7}{25} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{21}{10} = 2,1$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BKH$. Так как $CK$ — высота к прямой $AB$, то $\angle BKH = 90^\circ$. Значит, треугольник $BKH$ — прямоугольный.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$ является также биссектрисой угла $B$. Следовательно, $\angle ABM = \frac{\angle B}{2}$. Угол $\angle KBH$ в треугольнике $BKH$ совпадает с углом $\angle ABM$.

Найдем косинус угла $\frac{\angle B}{2}$ из формулы косинуса двойного угла $\cos(\angle B) = 2\cos^2(\frac{\angle B}{2}) - 1$:

$2\cos^2(\frac{\angle B}{2}) = 1 + \cos(\angle B) = 1 - \frac{7}{25} = \frac{18}{25}$

$\cos^2(\frac{\angle B}{2}) = \frac{9}{25}$

Поскольку $\frac{\angle B}{2}$ — острый угол, $\cos(\frac{\angle B}{2}) = \frac{3}{5}$.

В прямоугольном треугольнике $BKH$ катет $BK$ является прилежащим к углу $\angle KBH$, а $BH$ — гипотенузой:

$\cos(\angle KBH) = \frac{BK}{BH}$

$\cos(\frac{\angle B}{2}) = \frac{BK}{BH} \implies \frac{3}{5} = \frac{2,1}{BH}$

Отсюда находим $BH$:

$BH = \frac{2,1 \cdot 5}{3} = 0,7 \cdot 5 = 3,5$ см.

Ответ: 3,5 см.