Номер 34, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 34, страница 134.

Условие.

17.34. Высота наклонной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $6\sqrt{2}$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Площадь грани $AA_1B_1B$ равна $36$ см$^2$, грани $AA_1C_1C - 48$ см$^2$, а двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ равен $120^\circ$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объема наклонной призмы воспользуемся формулой $V = S_{перп} \cdot L$, где $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы, а $L$ — длина бокового ребра.

1. Нахождение длины бокового ребра

Пусть $L$ — длина бокового ребра (например, $AA_1$), а $H$ — высота призмы. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен $\alpha = 45^\circ$. Высота, боковое ребро и его проекция на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник, в котором $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а $L$ — гипотенузой.Связь между ними выражается формулой:$H = L \cdot \sin(\alpha)$По условию $H = 6\sqrt{2}$ см и $\alpha = 45^\circ$. Подставим эти значения:$6\sqrt{2} = L \cdot \sin(45^\circ)$$6\sqrt{2} = L \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$Отсюда находим $L$:$L = \frac{6\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 12$ см.

2. Нахождение площади перпендикулярного сечения

Перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, полученный пересечением призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. В данном случае основание призмы — треугольник, поэтому перпендикулярное сечение также является треугольником.Площади боковых граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ являются площадями параллелограммов. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.Рассмотрим грань $AA_1B_1B$. Её площадь $S_{AA_1B_1B} = 36$ см$^2$. Примем за основание боковое ребро $AA_1 = L = 12$ см. Тогда высота этой грани, проведенная к ребру $AA_1$ (обозначим ее $h_b$), является одной из сторон перпендикулярного сечения.$S_{AA_1B_1B} = L \cdot h_b$$36 = 12 \cdot h_b$$h_b = \frac{36}{12} = 3$ см.Аналогично для грани $AA_1C_1C$ с площадью $S_{AA_1C_1C} = 48$ см$^2$ и высотой $h_c$, проведенной к ребру $AA_1$:$S_{AA_1C_1C} = L \cdot h_c$$48 = 12 \cdot h_c$$h_c = \frac{48}{12} = 4$ см.Двугранный угол при ребре $AA_1$ равен $120^\circ$. Этот угол является углом между плоскостями граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$. По определению, линейный угол двугранного угла — это угол между перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки на ребре. Таким образом, угол между сторонами перпендикулярного сечения $h_b$ и $h_c$ равен $120^\circ$.Теперь мы можем найти площадь перпендикулярного сечения ($S_{перп}$), которое является треугольником со сторонами $h_b=3$ см, $h_c=4$ см и углом между ними $120^\circ$.$S_{перп} = \frac{1}{2} h_b h_c \sin(120^\circ)$$S_{перп} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Нахождение объёма призмы

Теперь, зная площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, мы можем вычислить объём призмы:$V = S_{перп} \cdot L$$V = 3\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $36\sqrt{3}$ см$^3$.