Номер 31, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 31, страница 134.

Условие.

17.31. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 30 см и 40 см. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда и образующая с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Стороны его основания $ABCD$ равны $AD = 30$ см и $AB = 40$ см. Высота параллелепипеда равна $h = AA_1$.Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

1. Найдём площадь основания и диагональ основания.
Площадь основания (прямоугольника $ABCD$) равна:$S_{осн} = AD \cdot AB = 30 \cdot 40 = 1200$ см$^2$.

Найдём длину диагонали основания $AC$ из прямоугольного треугольника $ADC$ по теореме Пифагора:$AC^2 = AD^2 + DC^2$Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $DC = AB = 40$ см.$AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$ см$^2$.$AC = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. Построим сечение и определим его свойства.
По условию, через диагональ основания $AC$ проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда. Диагонали параллелепипеда, не пересекающие $AC$, — это $BD_1$ и $B_1D$. Выберем диагональ $BD_1$.Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Проведём в плоскости диагонального сечения $BDD_1B_1$ прямую $OK$ параллельно $BD_1$, где точка $K$ лежит на ребре $DD_1$. Так как $O$ — середина $BD$ и $OK \parallel BD_1$, то по теореме Фалеса $OK$ является средней линией треугольника $BDD_1$. Следовательно, точка $K$ — середина ребра $DD_1$.Таким образом, искомая плоскость сечения проходит через точки $A$, $C$ и $K$.

3. Найдём высоту параллелепипеда.
Угол между плоскостью сечения $(ACK)$ и плоскостью основания $(ABC)$ равен $30^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AC$. Угол между плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями.

Для построения линейного угла проведём перпендикуляр из точки $D$ к прямой $AC$ в плоскости основания. Пусть $DH \perp AC$, где $H \in AC$. Длину $DH$ можно найти, выразив площадь треугольника $ADC$ двумя способами:$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см$^2$.С другой стороны, $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot DH$.$600 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot DH \implies DH = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Так как $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, то $KD \perp (ABC)$, а значит $KD \perp DH$. $KH$ — наклонная, а $DH$ — её проекция на плоскость основания. Поскольку проекция $DH$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $KH$ перпендикулярна $AC$.Следовательно, угол $\angle KHD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle KHD = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $KDH$ ($\angle KDH = 90^\circ$).$K$ — середина $DD_1$, поэтому $KD = \frac{1}{2} DD_1 = \frac{h}{2}$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\text{tg}(\angle KHD) = \frac{KD}{DH}$$\text{tg}(30^\circ) = \frac{h/2}{24}$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48}$Отсюда находим высоту $h$:$h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ см.

4. Найдём объём параллелепипеда.
Теперь мы можем вычислить объём:$V = S_{осн} \cdot h = 1200 \cdot 16\sqrt{3} = 19200\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $19200\sqrt{3}$ см$^3$.