Номер 26, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 26, страница 134.

Условие.

17.26. Боковое ребро наклонного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ — $5\sqrt{3}$ см, между прямыми $AA_1$ и $DD_1$ — 4 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре $AA_1$ равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Объем наклонного параллелепипеда можно найти по формуле $V = S_{\perp} \cdot l$, где $l$ – длина бокового ребра, а $S_{\perp}$ – площадь сечения, перпендикулярного этому ребру.

В нашем случае:

• Длина бокового ребра $l = AA_1 = 8$ см.
• $S_{\perp}$ – это площадь сечения, перпендикулярного ребру $AA_1$.

1. Найдем площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$

Рассмотрим сечение, перпендикулярное боковому ребру $AA_1$. Это сечение является параллелограммом. Длины его смежных сторон равны расстояниям от ребра $AA_1$ до параллельных ему ребер $BB_1$ и $DD_1$. Пусть стороны этого параллелограмма равны $a$ и $b$.

$a$ – расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$, $a = 5\sqrt{3}$ см.
$b$ – расстояние между прямыми $AA_1$ и $DD_1$, $b = 4$ см.

Угол между сторонами перпендикулярного сечения равен двугранному углу при ребре, которому это сечение перпендикулярно. В данном случае, угол $\alpha$ между сторонами $a$ и $b$ равен двугранному углу при ребре $AA_1$, то есть $\alpha = 60^\circ$.

Площадь параллелограмма (перпендикулярного сечения) находится по формуле: $S_{\perp} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения: $S_{\perp} = 5\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20 \cdot 3}{2} = 30$ см².

2. Найдем объем параллелепипеда

Теперь, зная площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, можем найти объем: $V = S_{\perp} \cdot l = 30 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 240$ см³.

Ответ: $240$ см³