Номер 21, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 21, страница 133.

Условие.

17.21. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$.

Известно, что $\angle BAD = \alpha$, $AC = d$. Через прямую $BD$ и точку $C_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем прямой призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является ромб $ABCD$. Найдем его площадь. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$. По условию, диагональ $AC = d$. Найдем длину второй диагонали $BD$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ под прямым углом, делятся этой точкой пополам и являются биссектрисами углов ромба. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ ($\angle AOB = 90^\circ$). В нем катет $AO = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2}$, а угол $\angle BAO = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{\alpha}{2}$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдем катет $BO$: $BO = AO \cdot \tan(\angle BAO) = \frac{d}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Тогда диагональ $BD = 2 \cdot BO = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cdot d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2} d^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Далее найдем высоту призмы $H$. Так как призма прямая, ее высота равна боковому ребру, $H = CC_1$. По условию, плоскость, проходящая через прямую $BD$ и точку $C_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Эта плоскость $(BDC_1)$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ по прямой $BD$. Угол между плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла, для построения которого нужно провести перпендикуляры к линии пересечения $BD$ в одной точке. В плоскости основания $OC \perp BD$, так как диагонали ромба перпендикулярны. Так как призма прямая, $CC_1 \perp (ABC)$, то $OC$ является проекцией наклонной $C_1O$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, $C_1O \perp BD$. Следовательно, угол $\angle C_1OC$ является линейным углом двугранного угла и $\angle C_1OC = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1OC$ (прямой угол при вершине $C$, так как $CC_1 \perp OC$). В нем катет $OC = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2}$. Высота призмы $H = CC_1$ является другим катетом. Найдем его: $H = CC_1 = OC \cdot \tan(\angle C_1OC) = \frac{d}{2} \tan(\beta)$.

Наконец, вычислим объем призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{2} d^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{d}{2} \tan(\beta)\right) = \frac{1}{4} d^3 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{4} d^3 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.