Номер 20, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 20, страница 133.

Условие.

17.20. Найдите объём правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, если её диагонали $A_1D$ и $A_1E$ равны соответственно 13 см и 12 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а высота призмы (длина бокового ребра) равна $h$.Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания.Основание призмы — правильный шестиугольник, его площадь можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$:$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим диагонали призмы.Диагональ $A_1D$ соединяет вершину $A_1$ верхнего основания с вершиной $D$ нижнего основания. Проекцией этой диагонали на нижнее основание является большая диагональ шестиугольника $AD$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной его стороне: $AD = 2a$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AD$ (прямой угол при вершине $A$, так как призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основанию). По теореме Пифагора:$A_1A^2 + AD^2 = A_1D^2$$h^2 + (2a)^2 = 13^2$$h^2 + 4a^2 = 169$ (1)

Диагональ $A_1E$ соединяет вершину $A_1$ верхнего основания с вершиной $E$ нижнего основания. Проекцией этой диагонали на нижнее основание является малая диагональ шестиугольника $AE$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$: $AE = a\sqrt{3}$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AE$ (прямой угол при вершине $A$). По теореме Пифагора:$A_1A^2 + AE^2 = A_1E^2$$h^2 + (a\sqrt{3})^2 = 12^2$$h^2 + 3a^2 = 144$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a^2$ и $h^2$):$\begin{cases} h^2 + 4a^2 = 169 \\ h^2 + 3a^2 = 144 \end{cases}$Вычтем из первого уравнения второе:$(h^2 + 4a^2) - (h^2 + 3a^2) = 169 - 144$$a^2 = 25$Отсюда сторона основания $a = \sqrt{25} = 5$ см.

Подставим значение $a^2 = 25$ во второе уравнение, чтобы найти высоту $h$:$h^2 + 3 \cdot 25 = 144$$h^2 + 75 = 144$$h^2 = 144 - 75$$h^2 = 69$Отсюда высота призмы $h = \sqrt{69}$ см.

Теперь можем найти объём призмы. Сначала вычислим площадь основания:$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 25 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Найдём объём:$V = S_{осн} \cdot h = \frac{75\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{69} = \frac{75\sqrt{3 \cdot 69}}{2} = \frac{75\sqrt{207}}{2}$.Разложим подкоренное выражение: $207 = 9 \cdot 23$.$V = \frac{75\sqrt{9 \cdot 23}}{2} = \frac{75 \cdot 3\sqrt{23}}{2} = \frac{225\sqrt{23}}{2}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{225\sqrt{23}}{2}$ см$^3$.