Номер 22, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22, страница 133.

Условие.

17.22. Основанием прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$. Известно, что $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $AB = c$. Плоскость $A_1BC$ образует с плоскостью основания призмы угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания призмы.
Основанием является прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, гипотенуза $AB = c$ и $\angle ABC = \beta$.
Найдем длины катетов $AC$ и $BC$ из треугольника $ABC$:
$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = c \cdot \sin\beta$
$BC = AB \cdot \cos(\angle ABC) = c \cdot \cos\beta$
Площадь основания $S_{осн}$ равна площади треугольника $ABC$:
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} (c \sin\beta) (c \cos\beta) = \frac{1}{2}c^2 \sin\beta \cos\beta$.

2. Найдем высоту призмы.
Призма $ABCA_1B_1C_1$ — прямая, следовательно, ее высота $H$ равна длине бокового ребра, например, $H = AA_1$.
Угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BC$.
Для нахождения линейного угла этого двугранного угла необходимо построить перпендикуляры к линии их пересечения $BC$ в каждой из плоскостей, проведенные из одной точки.
В плоскости основания $ABC$ катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$, так как $\angle ACB = 90^\circ$.
Поскольку призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Таким образом, $AA_1$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $A_1C$ — наклонная, а $AC$ — ее проекция на эту плоскость.
По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($A_1C$) перпендикулярна этой прямой. Значит, $A_1C \perp BC$.
Следовательно, угол между перпендикулярами $AC$ и $A_1C$, то есть $\angle A_1CA$, является линейным углом двугранного угла между плоскостями $A_1BC$ и $ABC$. По условию, этот угол равен $\alpha$, т.е. $\angle A_1CA = \alpha$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ (угол $\angle A_1AC = 90^\circ$, т.к. $AA_1 \perp AC$). В этом треугольнике:
$\tan(\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC}$
Отсюда находим высоту призмы $H = AA_1$:
$H = AC \cdot \tan\alpha = (c \sin\beta) \cdot \tan\alpha = c \sin\beta \tan\alpha$.

3. Найдем объем призмы.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:
$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{2}c^2 \sin\beta \cos\beta\right) \cdot (c \sin\beta \tan\alpha)$
$V = \frac{1}{2}c^3 \sin^2\beta \cos\beta \tan\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{2}c^3 \sin^2\beta \cos\beta \tan\alpha$.