Номер 15, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 15, страница 133.

Условие.

17.15. Основанием наклонной призмы является параллелограмм со сторонами 3 см и 8 см и углом $30^\circ$. Боковое ребро призмы равно 12 см и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $H$ — ее высота.

Сначала найдем площадь основания. В основании лежит параллелограмм со сторонами $a = 3$ см, $b = 8$ см и углом между ними $\alpha = 30^\circ$. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$
Подставим известные значения:
$S_{осн} = 3 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \text{ см}^2$.

Теперь найдем высоту призмы $H$. Боковое ребро $l = 12$ см образует с плоскостью основания угол $\beta = 45^\circ$. Высота призмы является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является боковое ребро, а угол, противолежащий высоте, равен $\beta$. Таким образом, высота находится по формуле:
$H = l \cdot \sin(\beta)$
Подставим известные значения:
$H = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$.

Наконец, вычислим объем призмы, умножив площадь основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot H = 12 \cdot 6\sqrt{2} = 72\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $72\sqrt{2} \text{ см}^3$.