Номер 18, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 18, страница 133.

Условие.

17.18. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна $d$ и образует с плоскостью боковой грани угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма. В её основании лежит квадрат, а боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными основаниям. Обозначим сторону квадрата в основании как $a$, а высоту призмы — как $h$. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = a^2h$.

Пусть $AC'$ — диагональ призмы, её длина по условию равна $d$. Рассмотрим одну из боковых граней, например, $BCC'B'$. Угол между диагональю $AC'$ и плоскостью этой грани по условию равен $\alpha$.

Угол между наклонной прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Найдём проекцию диагонали $AC'$ на плоскость грани $BCC'B'$. Точка $C'$ уже принадлежит этой плоскости. Поскольку призма правильная, её боковое ребро $AB$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и, следовательно, перпендикулярно ребру $BC$. Также $AB$ перпендикулярно боковому ребру $BB'$. Таким образом, ребро $AB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $BCC'B'$, а значит, и всей этой плоскости.

Следовательно, точка $B$ является ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $BCC'B'$. Тогда отрезок $BC'$ является проекцией диагонали $AC'$ на эту плоскость. Угол между наклонной $AC'$ и её проекцией $BC'$ — это и есть заданный угол $\alpha$, то есть $\angle AC'B = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC'$. Так как ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $BCC'B'$, оно перпендикулярно и прямой $BC'$, лежащей в этой плоскости. Значит, треугольник $\triangle ABC'$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ABC'$.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $AC' = d$, а катет $AB = a$ противолежит углу $\alpha$. Из определения синуса угла получаем: $\sin \alpha = \frac{AB}{AC'} = \frac{a}{d}$ Отсюда находим сторону основания призмы: $a = d \sin \alpha$.

Теперь необходимо найти высоту призмы $h$. Для любого прямоугольного параллелепипеда (и для правильной призмы в частности) квадрат его диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений. В нашем случае это $a$, $a$ и $h$: $d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$ Выразим из этой формулы $h^2$: $h^2 = d^2 - 2a^2$ Подставим найденное ранее выражение для $a$: $h^2 = d^2 - 2(d \sin \alpha)^2 = d^2 - 2d^2 \sin^2 \alpha = d^2(1 - 2\sin^2 \alpha)$ Используя формулу косинуса двойного угла, $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha$, упростим выражение для $h^2$: $h^2 = d^2 \cos(2\alpha)$ Отсюда высота призмы равна $h = d \sqrt{\cos(2\alpha)}$.

Теперь, зная сторону основания $a$ и высоту $h$, мы можем найти объём призмы: $V = a^2 h = (d \sin \alpha)^2 \cdot (d \sqrt{\cos(2\alpha)}) = d^2 \sin^2 \alpha \cdot d \sqrt{\cos(2\alpha)}$ $V = d^3 \sin^2 \alpha \sqrt{\cos(2\alpha)}$

Ответ: $V = d^3 \sin^2 \alpha \sqrt{\cos(2\alpha)}$.