Номер 19, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 19, страница 133.

Условие.

17.19. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с плоскостью боковой грани — угол $\beta$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Объем параллелепипеда $V$ находится по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.Диагональ параллелепипеда $d$ связана с его измерениями соотношением $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Угол между наклонной (диагональю $d$) и плоскостью (плоскостью основания) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $d$ на плоскость основания является диагональ основания. Высота параллелепипеда $c$ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, диагональ $d$, её проекция на основание и высота $c$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой, а высота $c$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\alpha) = \frac{c}{d}$Отсюда выразим высоту $c$:$c = d \sin(\alpha)$

Аналогично, угол $\beta$ между диагональю $d$ и плоскостью боковой грани — это угол между диагональю и её проекцией на эту грань. Пусть эта боковая грань имеет измерения $b$ и $c$. Тогда ребро $a$ перпендикулярно этой плоскости. Таким образом, диагональ $d$, её проекция на боковую грань и ребро $a$ образуют другой прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой, а ребро $a$ — катетом, противолежащим углу $\beta$.

Из определения синуса получаем:$\sin(\beta) = \frac{a}{d}$Отсюда выразим измерение $a$:$a = d \sin(\beta)$

Теперь, зная выражения для $a$ и $c$, мы можем найти третье измерение $b$ из формулы для квадрата диагонали:$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$Подставим найденные выражения для $a$ и $c$:$d^2 = (d \sin(\beta))^2 + b^2 + (d \sin(\alpha))^2$$d^2 = d^2 \sin^2(\beta) + b^2 + d^2 \sin^2(\alpha)$Выразим $b^2$:$b^2 = d^2 - d^2 \sin^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\beta)$$b^2 = d^2(1 - \sin^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$, получаем:$b^2 = d^2(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$Тогда:$b = d\sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$(Условие существования такого параллелепипеда: $\cos^2(\alpha) \ge \sin^2(\beta)$, или $\alpha+\beta \le \frac{\pi}{2}$, что геометрически выполняется для углов, которые прямая образует с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями).

Наконец, находим объем параллелепипеда, перемножая его измерения:$V = a \cdot b \cdot c = (d \sin(\beta)) \cdot (d\sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}) \cdot (d \sin(\alpha))$$V = d^3 \sin(\alpha) \sin(\beta) \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$

Ответ: $V = d^3 \sin(\alpha) \sin(\beta) \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$