Номер 25, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 25, страница 133.

Условие.

17.25. Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 20 см, а расстояния между параллельными прямыми, содержащими рёбра призмы, равны 17 см, 25 см и 26 см. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объём наклонной призмы можно найти по формуле $V = S_{\perp} \cdot L$, где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы.

По условию, длина бокового ребра $L = 20$ см.

Перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, стороны которого перпендикулярны боковым ребрам. В данном случае это треугольник. Длины сторон этого треугольника равны расстояниям между параллельными прямыми, содержащими боковые рёбра. Таким образом, перпендикулярное сечение представляет собой треугольник со сторонами $a = 17$ см, $b = 25$ см и $c = 26$ см.

Площадь этого треугольника ($S_{\perp}$) можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

1. Найдём полупериметр $p$:
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{17 + 25 + 26}{2} = \frac{68}{2} = 34$ см.

2. Вычислим площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$:
$p - a = 34 - 17 = 17$
$p - b = 34 - 25 = 9$
$p - c = 34 - 26 = 8$
$S_{\perp} = \sqrt{34 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 8} = \sqrt{(2 \cdot 17) \cdot 17 \cdot 9 \cdot 8} = \sqrt{17^2 \cdot 9 \cdot 16} = \sqrt{17^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2}$
$S_{\perp} = 17 \cdot 3 \cdot 4 = 204$ см².

3. Теперь найдём объём призмы $V$:
$V = S_{\perp} \cdot L = 204 \cdot 20 = 4080$ см³.

Ответ: 4080 см³.