Номер 27, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 17. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 27, страница 134.

Условие.

17.27. Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Вершина $A_1$ призмы равноудалена от вершин треугольника $ABC$, а угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.
Основанием призмы является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

2. Найдём высоту призмы.
Пусть $A_1O$ — высота призмы, опущенная из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$. Тогда $H = A_1O$.По условию, вершина $A_1$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, то есть $A_1A = A_1B = A_1C$.Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle A_1OA$, $\triangle A_1OB$ и $\triangle A_1OC$. У них общий катет $A_1O$ и равные гипотенузы ($A_1A = A_1B = A_1C$). Следовательно, равны и вторые катеты: $OA = OB = OC$.Это означает, что точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.Так как треугольник $ABC$ равносторонний, радиус описанной окружности $R$ равен $OA$ и вычисляется по формуле:$R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания — это угол между наклонной $AA_1$ и её проекцией $AO$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle A_1AO = \alpha$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$. Высота призмы $H = A_1O$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Катет $OA$ прилежит к этому углу.Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:$\tan(\alpha) = \frac{A_1O}{OA} = \frac{H}{R}$.Отсюда выражаем высоту:$H = R \cdot \tan(\alpha) = \frac{a}{\sqrt{3}} \tan(\alpha)$.

3. Найдём объём призмы.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \tan(\alpha)$.Сократим $\sqrt{3}$:$V = \frac{a^3}{4} \tan(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{a^3}{4} \tan(\alpha)$.