Номер 33, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 33, страница 142.

Условие.

18.33. Докажите, что если в многогранник, площадь поверхности которого равна S, вписан шар радиусом r, то объём V этого многогранника можно найти по формуле $V = \frac{1}{3}Sr$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть в многогранник с объёмом $V$ и площадью поверхности $S$ вписан шар с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

Разобьём данный многогранник на конечное число пирамид, общую вершину которых поместим в центр вписанного шара $O$, а основаниями будут служить грани многогранника. Объём всего многогранника будет равен сумме объёмов этих пирамид.

Пусть $S_1, S_2, ..., S_n$ — это площади граней многогранника. Тогда площадь его полной поверхности $S$ равна сумме площадей всех его граней: $S = S_1 + S_2 + ... + S_n$.

Рассмотрим одну из таких пирамид, основанием которой является грань с площадью $S_i$. Поскольку шар вписан в многогранник, он касается каждой грани. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости касания (то есть до грани с площадью $S_i$) равно радиусу шара $r$. Это расстояние является высотой $h_i$ для данной пирамиды, следовательно, $h_i = r$ для всех $i=1, ..., n$.

Объём пирамиды $V_i$ с площадью основания $S_i$ и высотой $h_i = r$ вычисляется по формуле:

$V_i = \frac{1}{3} S_i h_i = \frac{1}{3} S_i r$

Объём всего многогранника $V$ равен сумме объёмов всех этих пирамид:

$V = V_1 + V_2 + ... + V_n = \sum_{i=1}^{n} V_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3} S_i r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}r$ за знак суммы:

$V = \frac{1}{3}r (S_1 + S_2 + ... + S_n)$

Так как сумма в скобках $S_1 + S_2 + ... + S_n$ является полной площадью поверхности многогранника $S$, мы можем произвести замену:

$V = \frac{1}{3}rS$

Таким образом, мы доказали, что объём $V$ этого многогранника можно найти по формуле $V = \frac{1}{3}Sr$.

Ответ: Что и требовалось доказать.