Номер 35, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 18. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 35, страница 142.

Условие.

18.35. Основанием пирамиды является квадрат со стороной $5 \text{ см}$. Одно из боковых рёбер пирамиды, равное $12 \text{ см}$, является высотой пирамиды. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения радиуса $r$ вписанного в пирамиду шара воспользуемся формулой, связывающей радиус вписанной сферы, объем пирамиды $V$ и площадь ее полной поверхности $S_{полн}$:

$$r = \frac{3V}{S_{полн}}$$

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ - квадратное основание со стороной $a=5$ см, а боковое ребро $SA=12$ см является высотой пирамиды ($H=SA$).

Сначала вычислим объем пирамиды $V$. Площадь основания (квадрата) равна:

$$S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ см}^2$$

Объем пирамиды равен:

$$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 12 = 100 \text{ см}^3$$

Далее вычислим площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$, которая равна сумме площади основания и площади боковой поверхности $S_{бок}$ ($S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$).

Боковая поверхность состоит из четырех треугольных граней: $SAB$, $SAD$, $SBC$ и $SDC$.

Поскольку ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, то $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Следовательно, треугольники $SAB$ и $SAD$ являются прямоугольными.

$$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2$$

$$S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2$$

Для нахождения площадей граней $SBC$ и $SDC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Так как $SA$ - перпендикуляр к плоскости основания, $SB$ - наклонная, а $AB$ - ее проекция, и $AB \perp BC$ (так как $ABCD$ - квадрат), то и $SB \perp BC$. Таким образом, треугольник $SBC$ также является прямоугольным.

Найдем длину ребра $SB$ из прямоугольного треугольника $SAB$ по теореме Пифагора:

$$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

Площадь грани $SBC$ равна:

$$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 13 = 32.5 \text{ см}^2$$

Аналогично, треугольник $SDC$ является прямоугольным ($SD \perp DC$), и его площадь равна площади $SBC$, так как $SD=SB=13$ см.

$$S_{SDC} = 32.5 \text{ см}^2$$

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC} = 30 + 30 + 32.5 + 32.5 = 125 \text{ см}^2$$

Площадь полной поверхности пирамиды:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 25 + 125 = 150 \text{ см}^2$$

Наконец, подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу для радиуса вписанного шара:

$$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 100}{150} = \frac{300}{150} = 2 \text{ см}$$

Ответ: 2 см.