Номер 32, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 32, страница 123.

Условие.

16.32. Найдите площадь параллелограмма, построенного как на сторонах на векторах $\vec{a} (-2; 2; 1)$ и $\vec{b} (4; 8; 1).$

Решение 1.

Решение 3.

16.32.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, численно равна модулю их векторного произведения $S = |\vec{a} \times \vec{b}|$.

Заданные векторы: $\vec{a} = (-2; 2; 1)$ и $\vec{b} = (4; 8; 1)$.

1. Вычислим векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$ с помощью определителя:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 4 & 8 \end{vmatrix}$
$= \vec{i}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 8) - \vec{j}((-2) \cdot 1 - 1 \cdot 4) + \vec{k}((-2) \cdot 8 - 2 \cdot 4)$
$= \vec{i}(2 - 8) - \vec{j}(-2 - 4) + \vec{k}(-16 - 8)$
$= -6\vec{i} + 6\vec{j} - 24\vec{k}$
Таким образом, векторное произведение равно вектору с координатами $(-6; 6; -24)$.

2. Найдем модуль (длину) полученного вектора, который равен площади параллелограмма $S$:
$S = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + (-24)^2} = \sqrt{36 + 36 + 576} = \sqrt{72 + 576} = \sqrt{648}$.

3. Упростим полученное значение:
$\sqrt{648} = \sqrt{324 \cdot 2} = \sqrt{18^2 \cdot 2} = 18\sqrt{2}$.
Ответ: $18\sqrt{2}$.