Номер 26, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 122.

Условие.

16.26. В конус, образующая которого равна 15 см, а высота – 12 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Линия, по которой вписанная сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью. Чтобы найти ее длину, необходимо определить радиус этой окружности.

Нахождение радиуса основания конуса (R)

Высота конуса $H$, радиус его основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, используя данные из условия ($L=15$ см, $H=12$ см), находим $R$:
$R = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Нахождение радиуса вписанной сферы (r)

Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, в который вписан большой круг сферы. Пусть A — вершина конуса, O — центр сферы, K — точка касания сферы с образующей AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABO'$, где O' — центр основания конуса. Треугольник $\triangle AOK$ (с прямым углом в точке K) подобен треугольнику $\triangle ABO'$ (с прямым углом в точке O') по общему острому углу A.Из подобия следует: $\frac{OK}{BO'} = \frac{AO}{AB}$.
Подставляем известные величины: $OK = r$, $BO' = R = 9$ см, $AB = L = 15$ см, $AO = H - r = 12 - r$.$\frac{r}{9} = \frac{12-r}{15}$
$15r = 9(12-r) \Rightarrow 15r = 108 - 9r \Rightarrow 24r = 108 \Rightarrow r = 4.5$ см.

Нахождение радиуса окружности касания ($r_к$)

Радиус окружности касания $r_к$ — это перпендикуляр, опущенный из точки касания K на ось конуса AO'. Рассмотрим треугольник $\triangle APK$, где P — точка на оси конуса. Этот треугольник подобен $\triangle ABO'$.Из подобия следует: $\frac{KP}{BO'} = \frac{AK}{AB}$.
Сначала найдем длину отрезка $AK$ из прямоугольного треугольника $\triangle AOK$ по теореме Пифагора ($AO$ — гипотенуза):
$AO = H - r = 12 - 4.5 = 7.5$ см.
$AK = \sqrt{AO^2 - OK^2} = \sqrt{7.5^2 - 4.5^2} = \sqrt{56.25 - 20.25} = \sqrt{36} = 6$ см.
Теперь найдем $r_к$ (который равен длине отрезка $KP$):
$\frac{r_к}{9} = \frac{6}{15} \Rightarrow r_к = 9 \cdot \frac{6}{15} = \frac{54}{15} = 3.6$ см.

Нахождение длины линии касания (C)

Длина искомой линии — это длина окружности с найденным радиусом $r_к$:
$C = 2\pi r_к = 2\pi \cdot 3.6 = 7.2\pi$ см.

Ответ: $7.2\pi$ см.