Номер 23, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 122.

Условие.

16.23. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 4 см, а радиус описанного около него шара – 5 см. Найдите высоту усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усечённого конуса и описанного около него шара. В сечении мы получим равнобокую трапецию, вписанную в окружность, которая является большим кругом описанного шара.

Пусть радиус шара $R = 5$ см, радиусы оснований усечённого конуса $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см. Центр окружности (точка $O$) совпадает с центром шара и лежит на оси симметрии трапеции, которая является осью конуса.

Высота усечённого конуса $H$ — это расстояние между плоскостями его оснований. Найдём расстояния от центра шара $O$ до плоскостей каждого из оснований конуса. Обозначим эти расстояния $d_1$ (для основания с радиусом $r_1$) и $d_2$ (для основания с радиусом $r_2$).

Радиус шара $R$, радиус основания конуса $r$ и расстояние $d$ от центра шара до этого основания образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$d^2 + r^2 = R^2$

Найдём расстояние $d_1$ от центра шара до плоскости основания с радиусом $r_1 = 3$ см:
$d_1^2 + r_1^2 = R^2$
$d_1^2 + 3^2 = 5^2$
$d_1^2 + 9 = 25$
$d_1^2 = 16$
$d_1 = \sqrt{16} = 4$ см.

Найдём расстояние $d_2$ от центра шара до плоскости основания с радиусом $r_2 = 4$ см:
$d_2^2 + r_2^2 = R^2$
$d_2^2 + 4^2 = 5^2$
$d_2^2 + 16 = 25$
$d_2^2 = 9$
$d_2 = \sqrt{9} = 3$ см.

Высота конуса $H$ зависит от расположения его оснований относительно центра шара. Возможны два случая.

Случай 1: Основания лежат по разные стороны от центра шара.
В этом случае высота усечённого конуса $H$ равна сумме расстояний от центра шара до плоскостей оснований:
$H = d_1 + d_2 = 4 + 3 = 7$ см.

Случай 2: Основания лежат по одну сторону от центра шара.
В этом случае высота усечённого конуса $H$ равна разности расстояний от центра шара до плоскостей оснований:
$H = |d_1 - d_2| = |4 - 3| = 1$ см.

Поскольку в условии задачи нет уточнений о расположении центра шара относительно оснований конуса, оба случая являются верными решениями.

Ответ: 7 см или 1 см.