Номер 16, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 16, страница 122.

Условие.

16.16. Образующая конуса равна 10 см, а радиус основания – 6 см. Найдите радиус шара, вписанного в данный конус.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $l$, а основание равно диаметру основания конуса $2R$. Вписанный в конус шар в этом сечении будет выглядеть как окружность, вписанная в этот равнобедренный треугольник. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара $r$.

Дано:

• Образующая конуса $l = 10$ см.
• Радиус основания конуса $R = 6$ см.

1. Нахождение высоты конуса

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдем высоту $H$:
$H^2 + R^2 = l^2$
$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Нахождение радиуса вписанного шара

Существует несколько способов найти радиус $r$.

Способ 1: Через подобие треугольников

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $l$. Центр вписанной окружности (шара) лежит на высоте конуса. Проведем из центра шара радиус $r$ в точку касания с образующей. Этот радиус будет перпендикулярен образующей. В результате образуются два подобных прямоугольных треугольника (по общему острому углу при основании конуса). Один треугольник — с катетами $H$ и $R$ и гипотенузой $l$. Второй треугольник — с катетом $r$ и гипотенузой, равной расстоянию от вершины конуса до центра шара, то есть $H-r$. Из подобия этих треугольников следует соотношение:
$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{l}$
Подставим известные значения:
$\frac{r}{6} = \frac{8-r}{10}$
$10r = 6(8-r)$
$10r = 48 - 6r$
$16r = 48$
$r = \frac{48}{16} = 3$ см.

Способ 2: Через площадь осевого сечения

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.
Площадь осевого сечения (равнобедренного треугольника):
$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.
Полупериметр треугольника:
$p = \frac{l + l + 2R}{2} = \frac{10 + 10 + 2 \cdot 6}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Теперь найдем радиус:
$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 3 см.