Номер 9, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 9, страница 121.

Условие.

16.9. В шар вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус основания вписанного в него цилиндра. Высота цилиндра $h$, по условию, равна диаметру его основания, то есть $h = 2r$.

Площадь большого круга шара ($S_{ш}$) определяется формулой $S_{ш} = \pi R^2$.

Площадь основания цилиндра ($S_{ц}$) определяется формулой $S_{ц} = \pi r^2$.

Чтобы найти, во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра, нужно найти их отношение:$\frac{S_{ш}}{S_{ц}} = \frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{R^2}{r^2}$.

Для того чтобы найти связь между радиусом шара $R$ и радиусом основания цилиндра $r$, рассмотрим осевое сечение. Сечением шара является большой круг радиусом $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара $2R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора:$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$.

Подставим в это равенство заданное условие $h = 2r$:$R^2 = r^2 + (\frac{2r}{2})^2$$R^2 = r^2 + r^2$$R^2 = 2r^2$.

Теперь мы можем найти искомое отношение площадей:$\frac{S_{ш}}{S_{ц}} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{2r^2}{r^2} = 2$.

Таким образом, площадь большого круга шара в 2 раза больше площади основания цилиндра.

Ответ: 2.