Номер 7, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 121.

Условие.

16.7. Образующая конуса равна диаметру его основания. Как радиус сферы, вписанной в данный конус, относится к радиусу описанной около него сферы?

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, его диаметр как $d$, образующую как $l$ и высоту как $h$.

По условию задачи, образующая конуса равна диаметру его основания: $l = d = 2r$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру конуса $2r$, и боковыми сторонами, равными образующей $l$. Поскольку $l=2r$, все стороны этого треугольника равны $2r$. Следовательно, осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной $a = 2r$.

Задача сводится к нахождению отношения радиуса окружности, вписанной в этот равносторонний треугольник ($r_{вп}$), к радиусу окружности, описанной около него ($R_{оп}$), так как эти радиусы и будут являться радиусами вписанной и описанной сфер соответственно.

Найдем высоту конуса $h$, которая также является высотой этого равностороннего треугольника. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей:

$h^2 + r^2 = l^2$

$h^2 + r^2 = (2r)^2 = 4r^2$

$h^2 = 3r^2$

$h = r\sqrt{3}$

Нахождение радиуса вписанной сферы ($r_{вп}$)

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с точкой пересечения медиан (центроидом). Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности равен одной трети высоты треугольника.

$r_{вп} = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot r\sqrt{3} = \frac{r\sqrt{3}}{3}$

Нахождение радиуса описанной сферы ($R_{оп}$)

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности (циркумцентр) также совпадает с точкой пересечения медиан. Радиус описанной окружности равен двум третям высоты треугольника.

$R_{оп} = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot r\sqrt{3} = \frac{2r\sqrt{3}}{3}$

Нахождение отношения радиусов

Теперь найдем искомое отношение радиуса вписанной сферы к радиусу описанной сферы:

$\frac{r_{вп}}{R_{оп}} = \frac{\frac{r\sqrt{3}}{3}}{\frac{2r\sqrt{3}}{3}}$

Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе ($r\sqrt{3}$ и $3$), получаем:

$\frac{r_{вп}}{R_{оп}} = \frac{1}{2}$

Таким образом, отношение радиусов равно 1 к 2.

Ответ: 1:2.