Номер 2, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 121.

Условие.

16.2. Высота цилиндра равна $4\sqrt{3}$ см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите радиус сферы, описанной около данного цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник $ABCD$, где $BC$ — высота цилиндра, а $AB$ — диаметр его основания. Диагональ этого сечения — $AC$. Угол, который диагональ $AC$ образует с плоскостью основания, — это угол между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость, то есть угол $\angle BAC$.

По условию задачи, высота цилиндра $H = BC = 4\sqrt{3}$ см, а угол $\angle BAC = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 90°$, так как высота цилиндра перпендикулярна его основанию.

Сфера, описанная около цилиндра, имеет свой центр в середине оси цилиндра. Вершины осевого сечения ($A, B, C, D$) лежат на поверхности этой сферы. Следовательно, диагональ осевого сечения $AC$ является диаметром описанной сферы.

Наша задача сводится к нахождению длины диагонали $AC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ мы знаем катет $BC$ и противолежащий ему угол $\angle BAC$. Мы можем найти гипотенузу $AC$, используя синус этого угла:

$\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AC}$

Выразим отсюда $AC$:

$AC = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

Подставим известные значения $BC = 4\sqrt{3}$ и $\angle BAC = 60°$:

$AC = \frac{4\sqrt{3}}{\sin(60°)}$

Так как $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AC = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Диагональ осевого сечения, которая является диаметром описанной сферы, равна 8 см. Радиус сферы $R$ равен половине её диаметра:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.