Номер 1, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 1, страница 121.

Условие.

16.1. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а его высота – 15 см. Найдите радиус шара, описанного около данного цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

16.1.

Пусть $R$ — радиус шара, описанного около цилиндра, $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — высота цилиндра.

Из условия задачи нам известно, что:

• Радиус основания цилиндра $r = 4$ см.
• Высота цилиндра $h = 15$ см.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$ (высота). Осевым сечением описанного шара является большой круг, радиус которого равен радиусу шара $R$. Прямоугольник (сечение цилиндра) вписан в этот круг.

Диагональ этого прямоугольника является диаметром описанного шара ($2R$). Мы можем найти квадрат диагонали по теореме Пифагора:

$(2R)^2 = (2r)^2 + h^2$

Также можно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (один катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). Центр описанного шара совпадает с серединой оси цилиндра.

По теореме Пифагора для этого треугольника:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Подставим известные значения в формулу:

$r = 4$ см

$\frac{h}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см

Вычислим квадрат радиуса шара:

$R^2 = 4^2 + (7,5)^2 = 16 + 56,25 = 72,25$

Теперь найдем радиус шара, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$R = \sqrt{72,25} = 8,5$ см

Ответ: 8,5 см.