Номер 5, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 121.

Условие.

16.5. Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна 8 см.

Решение 1.

Решение 3.

Если шар вписан в цилиндр, то его диаметр равен как высоте цилиндра, так и диаметру основания цилиндра. Это означает, что осевое сечение такого цилиндра является квадратом.

Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда высота цилиндра $h = a$ и диаметр его основания $D_{цил} = a$. Диаметр вписанного шара $D_{шара}$ также равен $a$.

Диагональ осевого сечения, по условию, равна $d = 8$ см. Для квадрата со стороной $a$ диагональ вычисляется по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Отсюда $d = a\sqrt{2}$.

Подставим известное значение диагонали и найдем сторону квадрата $a$:
$8 = a\sqrt{2}$
$a = \frac{8}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$a = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Сторона квадрата $a$ равна диаметру вписанного шара: $D_{шара} = a = 4\sqrt{2}$ см.

Радиус шара $R_{шара}$ равен половине его диаметра:
$R_{шара} = \frac{D_{шара}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.