Номер 11, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 121.

Условие.

16.11. Радиус основания цилиндра равен $r$, а радиус шара, описанного около этого цилиндра, равен $R$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра. В условии задачи дан радиус основания $r$ и радиус описанного шара $R$. Чтобы найти площадь, нам необходимо выразить высоту $h$ через известные величины $r$ и $R$.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$ (высота). Сечением шара является большая окружность радиуса $R$. Поскольку шар описан около цилиндра, этот прямоугольник вписан в эту окружность.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом основания цилиндра $r$ и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза — радиус шара $R$, соединяющий центр шара с точкой на окружности основания цилиндра.
• Один катет — радиус основания цилиндра $r$.
• Второй катет — половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$, так как центр шара лежит на середине оси цилиндра.

По теореме Пифагора для этого треугольника получаем соотношение: $R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Теперь выразим высоту $h$ из этого уравнения: $\left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 - r^2$
$\frac{h^2}{4} = R^2 - r^2$
$h^2 = 4(R^2 - r^2)$
$h = \sqrt{4(R^2 - r^2)} = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

Подставим найденное выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi r \cdot (2\sqrt{R^2 - r^2}) = 4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2}$

Ответ: $4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2}$