Номер 10, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 121.

Условие.

16.10. Диагональ осевого сечения цилиндра образует с высотой цилиндра угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус шара, описанного около него, равен $R$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $H$ – высота цилиндра, а $r$ – радиус его основания. Осевое сечение цилиндра является прямоугольником со сторонами $H$ и $2r$. Диагональ этого сечения, обозначим ее $d$, образует с высотой $H$ (которая является стороной этого прямоугольника) угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, диаметром основания $2r$ и диагональю $d$. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой. Из определения тригонометрических функций следует:
$H = d \cdot \cos(\alpha)$
$2r = d \cdot \sin(\alpha) \implies r = \frac{d}{2} \sin(\alpha)$

По условию, около цилиндра описан шар радиуса $R$. Это означает, что цилиндр вписан в шар. Диагональ осевого сечения цилиндра является диаметром описанного шара. Таким образом, длина диагонали $d$ равна диаметру шара $2R$.
$d = 2R$

Теперь подставим значение $d = 2R$ в выражения для высоты $H$ и радиуса $r$ цилиндра, чтобы выразить их через известные величины $R$ и $\alpha$:
$H = 2R \cos(\alpha)$
$r = \frac{2R}{2} \sin(\alpha) = R \sin(\alpha)$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rH$. Подставим в нее найденные выражения для $r$ и $H$:
$S_{бок} = 2\pi \cdot (R \sin(\alpha)) \cdot (2R \cos(\alpha)) = 4\pi R^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, мы можем упростить полученное выражение:
$S_{бок} = 2\pi R^2 \cdot (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)) = 2\pi R^2 \sin(2\alpha)$

Ответ: $S_{бок} = 2\pi R^2 \sin(2\alpha)$