Номер 12, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 121.

Условие.

16.12. Образующая конуса равна $b$, а его высота – $h$. Найдите радиус шара, описанного около данного конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения этой задачи рассмотрим осевое сечение, проходящее через вершину конуса и центр описанного шара. В сечении мы получим равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в окружность (большой круг шара).

Пусть радиус шара, который нам нужно найти, равен $R$. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны образующей конуса $b$, а его высота равна высоте конуса $h$.

Обозначим вершины этого треугольника как $A$ (вершина конуса) и $B, C$ (точки на окружности основания конуса). Тогда $AB = AC = b$. Высота конуса $AH = h$, где $H$ — центр основания конуса.

Проведем диаметр окружности $AD$ через вершину $A$. Его длина равна $2R$. Точки $A, C, D$ лежат на этой окружности.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Угол $\angle ACD$ опирается на диаметр $AD$, следовательно, он прямой ($\angle ACD = 90^\circ$). Таким образом, треугольник $ACD$ — прямоугольный.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ (с прямым углом $H$) и $\triangle ACD$ (с прямым углом $C$). У этих треугольников есть общий острый угол при вершине $A$ ($\angle CAH = \angle CAD$). Следовательно, треугольники $\triangle AHC$ и $\triangle ACD$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AC}{AD} = \frac{AH}{AC}$

Отсюда можно выразить следующее равенство:

$AC^2 = AD \cdot AH$

Подставим в это равенство известные нам значения:
$AC = b$ (образующая конуса)
$AD = 2R$ (диаметр шара)
$AH = h$ (высота конуса)

Получим уравнение:

$b^2 = 2R \cdot h$

Выразим из этого уравнения искомый радиус шара $R$:

$R = \frac{b^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{b^2}{2h}$