Номер 19, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 122.

Условие.

16.19. В усечённый конус, радиусы оснований которого равны 3 см и 4 см, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований усечённого конуса, а $l$ — его образующая. По условию задачи даны радиусы оснований: $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см.

Формула для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса:$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$

Для нахождения образующей $l$ воспользуемся тем фактом, что в усечённый конус вписан шар. Это возможно только в том случае, если в осевое сечение конуса, которое является равнобокой трапецией, можно вписать окружность.

Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а боковые стороны равны образующей конуса ($l$).

Согласно свойству описанного четырёхугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:$2r_1 + 2r_2 = l + l$$2(r_1 + r_2) = 2l$$l = r_1 + r_2$

Теперь найдём длину образующей $l$, подставив известные значения радиусов:$l = 3 + 4 = 7$ см.

Зная образующую, мы можем рассчитать площадь боковой поверхности усечённого конуса:$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (3 + 4) \cdot 7 = \pi \cdot 7 \cdot 7 = 49\pi$ см².

Ответ: $49\pi$ см².